حل مساله کمترین مربعات وزن دار با استفاده از تجزیه قائم کامل

چكيده
حل مساله كمترين مربعات وزندار به صورت   از طريق روش تجزيه قائم كامل موردنظر است‌.‌در عمل ماتريس وزن‌ها مي‌تواند بسيار بدحالت باشد و در نتيجه روش‌هاي متداول، ممكن است جواب‌هاي نادقيق بدست بدهند‌.‌استوار و تاد يك نرم‌ كراندار را براي مساله كمترين مربعات وزندار برقرار كردند كه مستقل از ماتريس وزن D است‌.‌واوازيز يك زوش پايدار (NSH) را بر اساس نرم كراندارد برقرار كرد‌.‌جواب محاسبه شده بوسيله الگوريتم پايدار فوق يك كران دقيق را كه مستقل از ماتريس وزن بدحالت D است، برقرار كرد‌.‌تحليل خطاي پيشرو نشان مي‌دهد كه الگوريتم COD در اين حالت پايدار است، اما اين الگوريتم نسبت به الگوريتم NSH كه بوسيله واوازيز بررسي شد، ساده‌تر است.
پيشگفتار
حل مساله كمترين مربعات وزندار به صورت از طريق روش‌هاي مستقيم با توجه به فرض‌هاي زير موردنظر است:
1. ماتريس   داراي رتبه ستوني كامل باشد.
2. ماتريس   متقارن معين مثبت و قطري حقيقي باشد.
3. ماتريس   بسيار بدحالت باشد.
همچنين دستگاه خطي مربعي به صورت را يك دستگاه تعادلي گويند، كه با توجه به فرض‌هاي فوق با مساله كمترين مربعات بالا در بدست آوردن جواب y معادل است.
اين دستگاه كاربردهاي زيادي دارد‌.‌در سال 1988 استرنگ برخي از كاربردهاي آن را در زمينه‌هاي بهينه‌سازي، المان‌هاي متناهي و شبكه‌هاي الكتريكي مشاهده كرد و به اين نتيجه رسيد كه در اكثر موارد ماتريس وزن D براي آنها بسيار بدحالت مي‌شدند‌.‌اين موجب شد كه يك سال بعد استوارت يك نرم كراندار را براي دستگاه‌هاي تعادلي فوق برقرار كند‌.‌اين حركتي شد براي واوايز كه در سال 1994 روش پايدار NSH را براي دستگاه‌هاي تعادلي فوق تحت نتايج تعريف شده استوار بوجود آورد‌.‌از آن پس روش NSH به عنوان يكي از روش‌هاي مفيد براي دستگاه‌هاي تعادلي كه ماتريس وزن D آنها بسيار بدحالت بودند، مورد استفاده قرار گرفت‌.‌
نشان داده شد كه كران بالاي جواب اين روش مستقل از D و عدد حالت D است‌.‌اين مزيتي براي روش NSH محسوب مي‌شود، زيرا روش‌هاي قبلي فاقد چنين كراني بودند.
بالاخره در سال 1997 هاگ و واوازيز، روش پايدار ديگري را تحت نتايج تعريف شده استوارت بوجود آوردند كه به روي COD موسوم شد.
اين روش هم از لحاظ كارايي، و هم از نظر سادگي تكنيك‌هاي استاندارد بكار گرفته شده و هم به خاطر دارا بودن يك آزمون براي وابستگي سطرهاي ماتريس A در مقابل وزن‌هايشان، به عنوان روشي بسيار مفيد براي حل اينگونه مسائل مورد استفاده قرار گرفت.
اين رساله به صورت زير سازماندهي مي‌شود:
1. در فصل اول مقدماتي از جبر خطي عددي را بررسي خواهيم كرد كه شامل نمادها و الگوريتم‌هاي پايه‌اي، آناليز ماتريس، آناليز خطا، تجزيه ماتريس و دستگاه‌هاي خطي مي‌باشد.
2. در فصل دوم حل مساله كمترين مربعات وزندار را با استفاده از روش‌هاي دستگاه معادلات نرمال، تجزيه QR و SVD از نظر عددي و پايداري بررسي خواهيم كرد.
3. در فصل سوم دستگاه‌هاي تعادلي و حل مساله كمترين مربعات وزندار را با استفاده از الگوريتم‌هاي مربوط به اين دستگاه (روش‌هاي فضاي پوچ و NSH)، از نظر عددي و پايداري مورد تحليل قرار خواهيم داد.
4. در فصل چهارم حل مساله را با استفاده از تجزيه قائم كامل COD از نظر عددي و پايداري بررسي خواهيم كرد.
5. در فصل پنجم الگوريتم‌هاي فوق را از نظر عددي، پايداري و كارايي مورد مقايسه قرار مي‌دهيم‌.‌الگوريتم‌ها را با استفاده از Matlab پياده‌سازي مي‌كنيم و مورد آزمون قرار مي‌دهيم.
  • چكيده 2
  • پيشگفتار 3
  • مقدمات 5
  • 1‌.‌2 آناليز ماتريس 11
  • 1‌.‌4‌.‌3‌.‌4‌.‌آنالیز خطا 25
  • فصل دوم مسئله کمترین مربعات وزندار و روشهای تجزیه 37
  • 2‌.‌2 خواص کمترین مربعات خطی 39
  • 2‌.‌2‌.‌1‌.‌توصیف مانده مینیمم 39
  • 4.4.2‌.‌‌تبدیل به یک دستگاه خطی‌.‌ 43
  • الگوریتم 3.4.2 (حل مسئله (2.3.2)با استفاده از تجزیهQR). 48
  • فصل سوم الگوريتم‌هاي عددي پايدار براي دستگاه‌هاي تعادلي 56
  • 3‌.‌1 دستگاه‌هاي تعادلي 57
  • 4‌.‌3‌.‌1 تجزيه متقارن نامعين 65
  • 3‌.‌4‌.‌2 حذف گوس با محورگيري جزئي 67
  • 3‌.‌4‌.‌4‌.‌3‌.‌الگوريتم مربوط به محاسبه پايه B براي A 80
  • فصل چهارم تجزيه قائم كامل براي حل مساله كمترين مربعات وزندار «COD» 85
  • 4. 2 بحث شهود راجع به الگوريتم (COD) 91
  • 4. 6 نكاتي در مورد تولرانس عددي 102
  • فصل پنجم مقايسه الگوريتم‌ها و نتيجه‌گيري 107
  • 5. 1 مقايسه الگوريتم‌ها 108

114 صفحه

0 پاسخ

دیدگاه خود را ثبت کنید

آیا می خواهید به گفتگو بپیوندید؟
احساس رایگان برای کمک!

پاسخ دهید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *